采用书籍为蒲和平编《大学生数学竞赛教程》
例30
题目：讨论方程\(a^x=bx(a>1)\)的实根个数.
分析：这是一道根情况讨论题，很明显可以移项后转化为某函数的零点讨论。再仔细一看发现该题类型并不少见，其实就是高中数学中压轴题里的常见类型，在高等数学中即是介值定理的应用。
解答：令\(f(x)=a^x-bx\)，则\(f'(x)=\ln{a}\cdot a^x-b\)，在\(a>1\)的情况下，\(ln(a)a^x\)是始终大于零的，下面讨论b的情况.
情况1：当\(b<0\)时，\(f'(x)=\ln{a}\cdot a^x-b>0\)恒成立，故\(f(x)\)是单增的，又有：\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\]故在\((-\infty,+\infty)\)上，\(\exists x_0\)使得\(f(x_0)=0\)，即原方程有1个根.
情况2：当\(b>0\)时，则\(f'(x)\)有一个零点\(x_1\). 令\(f'(x_1)=0\)，即\(\ln{a}\cdot a^{x_1}-b=0\)得到\[x_1=\log_{a} {\frac {b} {\ln {a}}}\]带入函数中得\[f(x_1)=a^{x_1}-bx_1=\frac {b} {\ln{a}}-b\log_{a} {\frac {b} {\ln {a}}}=\frac {b} {\ln{a}}-b\frac {\ln{b}-\ln{\ln{a}}} {\ln{a}}\]整理得\[f(x_1)=\frac {b} {\ln{a}} \cdot \ln{\frac {e\ln{a}} {b}}\]情况2-1：\(\frac {e\ln{a}} {b}>1\)，即\( 0<b<{e}\ln {a}\)时，\(f(x_1)>0\)，\(f(x)\)无零点，原方程无解.
情况2-2：\(\frac {e\ln{a}} {b}=1\)，即\(b=e\ln{a}\)时，\(f(x_1)=0\)，\(f(x)\)恰有一个零点，原方程有1个根.
情况2-3：\(0<\frac {e\ln{a}} {b}<1\)，即\(b>e\ln{a}\)时，\(f(x_1)<0\)，\(f(x)\)有两个零点，原方程有2个根.
情况3：当\(b=0\)时，原方程化为\(a^x=0\)，显然无解.
