采用书籍为蒲和平编《大学生数学竞赛教程》
P57 例8
题目：设$ f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0 $是实系数多项式，$n>=2$，且某个$a_k=0(1\leq k\leq n-1)$及当$l\neq k$时，$a_l\neq 0$. 试证明：若$f(x)=0$有$n$个相异的实根，则$a_{k-1}a_{k+1}<0$.
分析：这道题涉及到了零点，很容易想到罗尔定理：函数两个零点间必有一个导数为0的点，于是乎，在有n个零点的情况下，一阶导至少存在n-1个零点（每两个零点间有一个导数为0的点），二阶导至少有n-2个零点，以此类推。原式包含常数项共有n+1项，每求导一次少一项，又题中说$a_k=0$，故只需要不断求导到最后只剩下$a_{k-1}, a_k, a_{k+1}$的情况，再利用零点存在性定理即可推出结论。
解答：由题：$$f^{(k-1)}(x)= \frac {n!} {(n-k+1)!} a_n x^{n-k+1}+...+ \frac {(k+1)!} {2!} a_{k+1}x^2+k!a_kx+(k-1)!a_{k-1}$$
化简记作：
$$f^{(k-1)}(x)=C_{n-k+1} x^{n-k+1}+...+ C_2x^2+C_1x+C_0$$
其中，$C_2=\frac {(k+1)!} {2!} a_{k+1}, C_1=k!a_k=0, C_0=(k-1)!a_{k-1}$.
由罗尔定理，若原函数有$n$个零点，则上式有$n-k+1$个互异零点，记其分别为$x_1,x_2,...,x_{n-k+1}$，若设
$$\varphi (x)=C_{n-k+1}+C_{n-k}x+C_{n-k-1}x^2...+ C_2x^{n-k-1}+C_1x^{n-k}+C_0x^{n-k+1}$$
则$\varphi (x)$也有$n-k+1$个互异零点，分别为$ \frac {1}{x_1},\frac {1}{x_2},...\frac {1}{x_{n-k+1}}$，对其求$n-k-1$阶导得：
$$\varphi^{(n-k-1)}(x)=C_2(n-k-1)!+C_1(n-k)!x+C_0\frac {(n-k+1)!} {2!} x^2$$
又$a_k=0(1\leq k\leq n-1), C_1=k!a_k=0$，所以：
$$\varphi^{(n-k-1)}(x)=C_2(n-k-1)!+C_0\frac {(n-k+1)!} {2!} x^2$$
由罗尔定理，上式有$n-k+1-(n-k-1)=2$个互异零点，由二次函数的性质得：
$$C_2(n-k-1)!\times C_0\frac {(n-k+1)!} {2!} <0$$
所以
$$a_{k-1}a_{k+1}<0$$
P58 例9
题目：在$(-\infty,+\infty)$上，函数$f(x)=\sum_{k=1} ^ {n} c_ke^{a_kx}$最多有几个不同的零点？这里$a_k$为互不相同的实数，$c_k$为不同时为零的实数。
分析：$y=e^x$是一个十分特殊的函数，它的导数始终是它本身。同理看到零点问题，我们很容易想到罗尔定理，但是在这里运用例8的思路貌似走不通，因为不断求导下去，其导函数形式始终与原函数相同，并不能看出什么结论来。于是乎，构造一个新函数，使得其具有常数项，再判断零点的个数。
解答：已知$$f(x)=c_1e^{a_1x}+c_2e^{a_2x}+...+c_{n-1}e^{a_{n-1}x}+c_ne^{a_nx}$$
不妨令其有$n$个零点，构造$$g(x)=e^{-a_nx}f(x)=c_1e^{(a_1-a_n)x}+c_2e^{(a_2-a_n)x}+...+c_{n-1}e^{(a_{n-1}-a_n)x}+c_n$$
因为$e^{-a_nx}>0$恒成立，故$g(x)$与$f(x)$有相同的零点情况，也有n个零点. 则$g'(x)$有n-1个零点，且其项数比$g(x)$少1. 重复以上步骤并不断求导有：
$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left(e^{-(a_2-a_3)x}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left(e^{-(a_3-a_4)x}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left(e^{-(a_4-a_5)x}\cdots \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left (e^{-a_nx}f(x)\right)\right)\right)\right)=me^{(a_1-a_2)x}$$
由罗尔定理，上述方程应有$n-(n-1)=1$个零点，但$me^{(a_1-a_2)x}=0$显然无解，故假设不成立，原方程至多有$n-1$个相异零点。
