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采用书籍为蒲和平编《大学生数学竞赛教程》例30题目:讨论方程\(a^x=bx(a>1)\)的实根个数.分析:这是一道根情况讨论题,很明显可以移项后转化为某函数的零点讨论。再仔细一看发现该题类型并不少见,其实就是高中数学中压轴题里的常见类型,在高等数学中即是介值定理的应用。解答:令\(f(x)=a^x-bx\),则\(f'(x)=\ln{a}\cdot a^x-b\),在\(a>1\)的情况下,\(ln(a)a^x\)是始终大于零的,下面讨论b的情况.情况1:当\(b
采用书籍为蒲和平编《大学生数学竞赛教程》P57 例8题目:设$ f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0 $是实系数多项式,$n>=2$,且某个$a_k=0(1\leq k\leq n-1)$及当$l\neq k$时,$a_l\neq 0$. 试证明:若$f(x)=0$有$n$个相异的实根,则$a_{k-1}a_{k+1}<0$.分析:这道题涉及到了零点,很容易想到罗尔定理:函数两个零点间必有一个导数为0的点,于是乎,在有n个零点的情况下,一阶导至少存在n-1个零点(每两个零点间有一个导数为0的点),二阶导至少有n-2个零点,以此类推。原式包含常数项共有n+1项,每求导一次少一项,又题中说$a_k=0$,故只需要不断求导到最后只剩下$a_{k-1}, a_k, a_{k+1}$的情况,再利用零点存在性定理即可推出结论。解答:由题:$$f^{(k-1)}(x)= \frac {n!} {(n-k+1)!} a_n x^{n-k+1}+...+ \frac {(k+1)!} {2!} a_{k+1}x^2+k!a_kx+(k-1)!a_{k-1}$$化简记作:$$f^{
Bangyao Wang
不啻微芒,造炬成阳