CMC备赛 | 4.16一元函数微分学（二）

采用书籍为蒲和平编《大学生数学竞赛教程》例30题目：讨论方程\(a^x=bx(a>1)\)的实根个数.分析：这是一道根情况讨论题，很明显可以移项后转化为某函数的零点讨论。再仔细一看发现该题类型并不少见，其实就是高中数学中压轴题里的常见类型，在高等数学中即是介值定理的应用。解答：令\(f(x)=a^x-bx\)，则\(f'(x)=\ln{a}\cdot a^x-b\)，在\(a>1\)的情况下，\(ln(a)a^x\)是始终大于零的，下面讨论b的情况.情况1：当\(b

General Learning·Chinese Mathematics Competitions · 2022-04-16

CMC备赛｜4.12一元函数微分学（一）

采用书籍为蒲和平编《大学生数学竞赛教程》P57 例8题目：设$ f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0 $是实系数多项式，$n>=2$，且某个$a_k=0(1\leq k\leq n-1)$及当$l\neq k$时，$a_l\neq 0$. 试证明：若$f(x)=0$有$n$个相异的实根，则$a_{k-1}a_{k+1}<0$.分析：这道题涉及到了零点，很容易想到罗尔定理：函数两个零点间必有一个导数为0的点，于是乎，在有n个零点的情况下，一阶导至少存在n-1个零点（每两个零点间有一个导数为0的点），二阶导至少有n-2个零点，以此类推。原式包含常数项共有n+1项，每求导一次少一项，又题中说$a_k=0$，故只需要不断求导到最后只剩下$a_{k-1}, a_k, a_{k+1}$的情况，再利用零点存在性定理即可推出结论。解答：由题：$$f^{(k-1)}(x)= \frac {n!} {(n-k+1)!} a_n x^{n-k+1}+...+ \frac {(k+1)!} {2!} a_{k+1}x^2+k!a_kx+(k-1)!a_{k-1}$$化简记作：$$f^{

General Learning·Chinese Mathematics Competitions · 2022-04-12